A canonical extension of Kornʼs first inequality to H(Curl)H(Curl) motivated by gradient plasticity with plastic spin

We prove a Korn-type inequality in H∘(Curl;Ω,R3×3) for tensor fields P mapping Ω   to R3×3R3×3. More precisely, let Ω⊂R3Ω⊂R3 be a bounded domain with connected Lipschitz boundary ∂Ω  . Then, there exists a constant c>0c>0 such thatequation(1)c‖P‖L2(Ω,R3×3)⩽‖symP‖L2(Ω,R3×3)+‖CurlP‖L2(Ω,R3×3)c‖P‖L2(Ω,R3×3)⩽‖symP‖L2(Ω,R3×3)+‖CurlP‖L2(Ω,R3×3) holds for all tensor fields P∈H∘(Curl;Ω,R3×3), i.e., all P∈H(Curl;Ω,R3×3)P∈H(Curl;Ω,R3×3) with vanishing tangential trace on ∂Ω. Here, rotation and tangential traces are defined row-wise. For compatible P  , i.e., P=∇vP=∇v and thus CurlP=0, where v∈H1(Ω,R3)v∈H1(Ω,R3) are vector fields having components vnvn, for which ∇vn∇vn are normal at ∂Ω, the presented estimate ( 1) reduces to a non-standard variant of Kornʼs first inequality, i.e.,c‖∇v‖L2(Ω,R3×3)⩽‖sym∇v‖L2(Ω,R3×3).c‖∇v‖L2(Ω,R3×3)⩽‖sym∇v‖L2(Ω,R3×3).On the other hand, for skew-symmetric P  , i.e., symP=0, (1) reduces to a non-standard version of Poincaréʼs estimate. Therefore, since (1) admits the classical boundary conditions our result is a common generalization of these two classical estimates, namely Poincaréʼs resp. Kornʼs first inequality.

RésuméNous démontrons une inégalité de type Korn dans H∘(Curl;Ω,R3×3) pour des champs tensoriels P appliquant Ω   dans R3×3R3×3. De façon plus précise, soit Ω   un domaine borné de R3R3 dont la frontière ∂Ω   est Lipschitz continue et connexe. Il existe alors une constante c>0c>0, telle queequation(1)c‖P‖L2(Ω,R3×3)⩽‖symP‖L2(Ω,R3×3)+‖CurlP‖L2(Ω,R3×3)c‖P‖L2(Ω,R3×3)⩽‖symP‖L2(Ω,R3×3)+‖CurlP‖L2(Ω,R3×3) est vérifiée pour tous les champs tensoriels P∈H∘(Curl;Ω,R3×3), i.e., pour tous les P∈H(Curl;Ω,R3×3)P∈H(Curl;Ω,R3×3) dont la trace tangentielle sʼannule sur ∂Ω. Ici, rotation et trace tangentielle sont définies ligne par ligne. Pour des champs P   compatibles, i.e., P=∇vP=∇v, dʼoù CurlP=0, avec v∈H1(Ω,R3)v∈H1(Ω,R3) et de composante vnvn, telle que ∇vn∇vn est normal à ∂Ω, lʼestimation ( 1) se réduit àc‖∇v‖L2(Ω,R3×3)⩽‖sym∇v‖L2(Ω,R3×3),c‖∇v‖L2(Ω,R3×3)⩽‖sym∇v‖L2(Ω,R3×3),une variante non classique de la première inégalité de Korn. Par ailleurs, pour des P anti-symétriques, ( 1) se réduit à une variante non classique de lʼinégalité de Poincaré. Il en résulte que puisque (1) est compatible avec les conditions aux limites classiques, cette estimation généralise tout à la fois lʼinégalité de Poincaré et la première inégalité de Korn.