Blow up dynamics for smooth equivariant solutions to the energy critical Schrödinger map

We consider the energy critical Schrödinger map ∂tu=u∧Δu∂tu=u∧Δu to the 2-sphere for equivariant initial data of homotopy number k=1k=1. We show the existence of a set of smooth initial data arbitrarily close to the ground state harmonic map Q1Q1 in the scale invariant norm H˙1 which generate finite time blow up solutions. We give in addition a sharp description of the corresponding singularity formation which occurs by concentration of a universal bubble of energyu(t,x)−eΘ⁎RQ1(xλ(t))→u⁎in H˙1 as t→T where Θ⁎∈RΘ⁎∈R, u⁎∈H˙1, R   is a rotation and the concentration rate is given for some κ(u)>0κ(u)>0 byλ(t)=κ(u)T−t|log(T−t)|2(1+o(1))as t→T.

RésuméNous considérons lʼapplication de Schrödinger sur la 2-sphère énergie critique ∂tu=u∧Δu∂tu=u∧Δu pour des données initiales à symétrie équivariante et de degré k=1k=1. Nous exhibons un ensemble de données initiales régulières arbitrairement proches dans la topologie invariante dʼéchelle H˙1 de lʼapplication harmonique dʼénergie minimale Q1Q1 qui engendrent des solutions explosives en temps fini. Nous donnons une description fine de la formation de singularité qui correspond à la concentration dʼune bulle universelle dʼénergieu(t,x)−eΘ⁎RQ1(xλ(t))→u⁎in H˙1 où Θ⁎∈RΘ⁎∈R, u⁎∈H˙1, R   est une rotation et la vitesse de concentration est donnée pour une certain κ(u)>0κ(u)>0 par :λ(t)=κ(u)T−t|log(T−t)|2(1+o(1))quand t→T.