Asymptotically conformal similarity between Julia and Mandelbrot sets

An almost conformal local similarity between the connectedness locus Md and the corresponding Julia set is true for almost every point of ∂Md with respect to harmonic measure. The harmonic measure is supported on Lebesgue density points of the complement of Md which are not accessible from outside within John angles and at which the boundary of Md spirals infinitely often in both directions. A more general result can be obtained for d=2 in terms of the renormalization property. Finally, we prove that for almost all c∈∂Md in the sense of harmonic measure the Lyapunov exponent of c under iterates of zd+c is equal to .

RésuméEn presque tout point c par rapport à la mesure harmonique, le lieu de connectivité Md est asymptotiquement similaire au sens conforme à lʼensemble de Julia Jc près de c. Tout point de concentration de la mesure harmonique est un point de densité du complémentaire de Md qui nʼest pas bien accessibles du complémentaire de Md, autour duquel la frontière de Md est en spirale une infinité de fois dans deux directions opposées. Pour lʼensemble de Mandelbrot (d=2) on peut obtenir un résultat plus général en terme de la propriété de renormalisation. Finalement, on démontre que pour presque toute valeur de c∈∂Md par rapport à la mesure harmonique, lʼexposant de Lyapunov de c sous la dynamique de zd+c est égal à .