Une famille dʼhypersurfaces quasi-rationnelles avec application de Nash bijective

RésuméLe problème des arcs de Nash pour les singularités normales de surfaces affirme quʼil y aurait autant de familles dʼarcs sur un germe de surface singulier (S,O) que de composantes essentielles dʼune désingularisation de (S,O). Il est connu que ce problème se réduit à étudier les singularités quasi-rationnelles. Lʼobjet de cette Note est de répondre positivement au problème de Nash pour une famille dʼhypersurfaces quasi-rationnelles non rationnelles. La même méthode sʼapplique pour répondre positivement dans dʼautres cas, par exemple, les singularités de type E6 et E7, et pour fournir des preuves simples de cas connus.

The Nash problem on arcs for normal surface singularities states that there are as many arc families on a germ (S,O) of a singular surface as there are essential components of a desingularisation of (S,O). It is known that this problem can be reduced to the study of quasi-rational singularities. In this Note we give a positive answer to the Nash problem for a family of non-rational quasi-rational hypersurfaces. This same method applies to give a positive answer in some other cases, for instance, the E6 and E7 type singularities, and gives simple proofs of known cases.