On a theorem of Friedlander and Iwaniec

In [3], Friedlander and Iwaniec (2009) studied the so-called Hyperbolic Prime Number Theorem, which asks for an infinitude of elements γ=(abcd)∈SL(2,Z) such that the norm squared‖γ‖2=a2+b2+c2+d2=p,‖γ‖2=a2+b2+c2+d2=p, is a prime. Under the Elliott–Halberstam conjecture, they proved the existence of such, as well as a formula for their count, off by a constant from the conjectured asymptotic. In this Note, we study the analogous question replacing the integers with the Gaussian integers. We prove unconditionally that for every odd n⩾3n⩾3, there is a γ∈SL(2,Z[i])γ∈SL(2,Z[i]) such that ‖γ‖2=n‖γ‖2=n. In particular, every prime is represented. The proof is an application of Siegel's mass formula.

RésuméDans [3], Friedlander et Iwaniec (2009) ont introduit l'ensemble des nombres premiers qui admettent une représentation‖γ‖2=a2+b2+c2+d2=p,‖γ‖2=a2+b2+c2+d2=p, où γ=(abcd)∈SL(2,Z). Ils y étudient la question de savoir si cet ensemble est infini, et le démontrent sous la conjecture de Elliott et Halberstam. Dans cette Note, nous considérons le problème analogue pour les entiers de Gauss, donc γ∈SL(2,Z[i])γ∈SL(2,Z[i]), et montrons que ‖γ‖2‖γ‖2 représente alors en fait tout nombre impair. La formule de masse de Siegel joue un rôle essentiel.