Reflection coupling and Wasserstein contractivity without convexity

We note that even if convexity of the potential U fails locally, overdamped Langevin diffusions in Rd are contractions w.r.t. the Kantorovich–Rubinstein-Wasserstein distance based on an appropriately chosen concave distance function equivalent to the Euclidean distance. The choice of the distance function is then optimized to obtain a large exponential decay rate. The results yield dimension-independent bounds of optimal order in R,L∈[0,∞) and K∈(0,∞) if (x−y)⋅(∇U(x)−∇U(y)) is bounded from below by −L2|x−y| for |x−y|

RésuméOn considére diffusions de Langevin sur Rd dans un potentiel U non convex dans un ensemble borné. A lʼaide du couplage de réflection, on observe que ces diffusions sont des contractions pour la distance de Kantorovich–Rubinstein–Wasserstein basée sur une distance concave appropriée, équivalente à la distance Euclidienne. Le choix de la distance est optimisé pour obtenir un grand taux de décroissance exponentielle. Les résultats impliquent bornes optimales pour R,L∈[0,∞) et K∈(0,∞), indépendamment de la dimension, sous la condition que (x−y)⋅(∇U(x)−∇U(y)) est borné inférieurement par −L2|x−y| pour |x−y|