Localized solutions for the finite difference semi-discretization of the wave equation

We study the propagation properties of the solutions of the finite difference space semi-discrete wave equation on a uniform grid of the whole Euclidean space. We provide a construction of high frequency wave packets that propagate along the corresponding bi-characteristic rays of Geometric Optics with a group velocity arbitrarily close to zero. Our analysis is motivated by control theoretical issues. In particular, the continuous wave equation has the so-called observability property: for a sufficiently large time, the total energy of its solutions can be estimated in terms of the energy concentrated in the exterior of a compact set. This fails to be true, uniformly on the mesh-size parameter, for the semi-discrete schemes and the observability constant blows-up at an arbitrarily large polynomial order. Our contribution consists in providing a rigorous derivation of those wave packets and in analyzing their behavior near that ray, by taking into account the subtle added dispersive effects that the numerical scheme introduces.

RésuméOn étudie les propriétés de propagation des solutions de l'équation des ondes semi-discretisée en espace par différences finies sur une grille uniforme dans tout l'espace euclidien. On réalise une construction de paquets d'ondes concentrés à haute fréquence qui se propagent le long des rayons bicaractéristiques de l'Optique Géométrique à une vitesse de groupe arbitrairement petite. Notre analyse est motivée par la théorie du contrôle. Plus précisement, l'équation des ondes continue vérifie la propriété d'observabilité : pour un temps suffisament grand, l'énergie totale de ses solutions peut être estimée en fonction de l'énergie localisée à l'extérieur d'un ensemble compact. Cette propriété n'est pas verifiée de manière uniforme par rapport au pas de discrétisation pour le schéma semi-discret pour un temps fini quelconque, si bien que la constante d'observabilité semi-discrète diverge avec un taux polynomial arbitraire. Nous donnons une construction précise de ces paquets d'ondes et decrivons l'effet dispersif rajouté que le schéma numérique génère autour du rayon de propagation.