Functions of perturbed normal operators

In Peller (1985, 1990) [10,11], Aleksandrov and Peller (2009, 2010, 2010) [1–3] sharp estimates for f(A)−f(B) were obtained for self-adjoint operators A and B and for various classes of functions f on the real line R. In this Note we extend those results to the case of functions of normal operators. We show that if f belongs to the Hölder class Λα(R2), 0<α<1, of functions of two variables, and N1 and N2 are normal operators, then . We obtain a more general result for functions in the space for an arbitrary modulus of continuity ω. We prove that if f belongs to the Besov class , then it is operator Lipschitz, i.e., . We also study properties of f(N1)−f(N2) in the case when f∈Λα(R2) and N1−N2 belongs to the Schatten–von Neumann class Sp.

RésuméOn a obtenu dans Peller (1985, 1990) [10,11], Aleksandrov et Peller (2009, 2010, 2010) [1–3] des estimations précises de f(A)−f(B), où A et B sont des opérateurs autoadjoints et f est une fonction sur la droite réelle R. Dans cette note nous obtenons des généralisations de ces résultats pour les opérateurs normaux et pour les fonctions f de deux variables. Nous démontrons que si f appartient à l'espace de Hölder Λα(R2), 0<α<1, alors pour tous opérateurs normaux N1 et N2. Nous obtenons aussi un résultat plus général pour les fonctions de la classe . Nous montrons que si f appartient à l'espace de Besov , alors f est une fonction lipschitzienne opératorielle, c'est-à-dire pour tous opérateurs normaux N1 et N2. Nous étudions aussi les propriétés de f(N1)−f(N2) quand f∈Λα(R2) et N1 et N2 sont des opérateurs normaux tells que N1−N2 appartient à l'espace Sp de Schatten–von Neumann.