A functional framework for the Keller–Segel system: Logarithmic Hardy–Littlewood–Sobolev and related spectral gap inequalities

This Note is devoted to several inequalities deduced from a special form of the logarithmic Hardy–Littlewood–Sobolev, which is well adapted to the characterization of stationary solutions of a Keller–Segel system written in self-similar variables, in case of a subcritical mass. For the corresponding evolution problem, such functional inequalities play an important role for identifying the rate of convergence of the solutions towards the stationary solution with same mass.

RésuméCette Note est consacrée à plusieurs inégalités fonctionnelles déduites dʼune forme particulière de lʼinégalité logarithmique de Hardy–Littlewood–Sobolev, qui est bien adaptée à la caractérisation des solutions stationnaires dʼun système de Keller–Segel écrit en variables auto-similaires, dans le cas dʼune masse sous-critique. Pour le problème dʼévolution correspondant, ces inégalités fonctionnelles jouent un rôle important dans lʼidentification des taux de convergence des solutions vers la solution stationnaire de même masse.