Global solutions for the gravity water waves equation in dimension 3

We show existence of global solutions for the gravity water waves equation in dimension 3, in the case of small data. The proof combines energy estimates, which yield control of L2 related norms, with dispersive estimates, which give decay in L∞. To obtain these dispersive estimates, we use an analysis in Fourier space; the study of space and time resonances is then the crucial point. To cite this article: P. Germain et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

RésuméNous montrons l'existence de solutions globales pour les équations des ondes de surface en dimension 3 avec gravité seulement, dans le cas de petites données initiales. La preuve combine des estimations d'énergie, qui donnent le contrôle de normes de type L2, avec des estimations dispersives, qui donnent la décroissance dans L∞. Ces estimations dispersives sont obtenues grâce à une analyse dans l'espace de Fourier, qui repose sur l'étude des résonances en temps et en espace. Pour citer cet article : P. Germain et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).