Une amélioration d'un résultat de E.B. Davies et B. Simon

RésuméE.B. Davies et B. Simon ont montré (entre autres résultats) la chose suivante : soit T, une matrice n×n telle que son spectre σ(T) soit inclus dans le disque et soit C=supn⩾0‖Tn‖E→E (E étant Cn muni d'une certaine norme |.|). Alors ‖R(1,T)‖E→E⩽C(3n/dist(1,σ(T)))3/2 où R(λ,T) désigne la résolvante de T prise au point λ. Nous améliorons ici cette dernière inégalité à travers le résultat suivant : sous les mêmes conditions (portant sur la matrice T), pour tout λ∉σ(A) tel que |λ|⩾1, on a . Pour citer cet article : R. Zarouf, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

E.B. Davies and B. Simon have shown (among other things) the following result: if T is an n×n matrix such that its spectrum σ(T) is included in the open unit disc and if C=supk⩾0‖Tk‖E→E, where E stands for Cn endowed with a certain norm |.|, then ‖R(1,T)‖E→E⩽C(3n/dist(1,σ(T)))3/2 where R(λ,T) stands for the resolvent of T at point λ. Here, we improve this inequality showing that under the same hypotheses (on the matrix T), , for all λ∉σ(T) such that |λ|⩾1. To cite this article: R. Zarouf, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).