Poles of the topological zeta function for plane curves and Newton polyhedra

The local topological zeta function is a rational function associated to a germ of a complex holomorphic function. This function can be computed from an embedded resolution of singularities of the germ. For functions that are nondegenerate with respect to their Newton polyhedron it is also possible to compute it from the Newton polyhedron. Both ways give rise to a set of candidate poles of the topological zeta function, containing all poles. For plane curves, W. Veys showed how to filter the actual poles out of the candidate poles induced by the resolution graph. In this Note we show how to determine from the Newton polyhedron of a nondegenerate plane curve which candidate poles are actual poles. To cite this article: A. Lemahieu, L. Van Proeyen, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

RésuméLa fonction zêta topologique locale est une fonction rationnelle associée au germe d'une fonction complexe holomorphe. Cette fonction peut être calculée à partir d'une résolution plongée du germe. Pour les fonctions qui sont non dégénérées pour leur polyèdre de Newton, elle peut également être calculée à partir de ce polyèdre de Newton. Ces deux méthodes donnent lieu à un ensemble de candidats pôles, contenant tous les pôles. Pour les courbes planes, W. Veys a démontré comment filtrer les pôles de l'ensemble des candidats pôles induit par le graphe de la résolution. Dans cette Note on montre, pour les courbes planes non dégénérées, comment déterminer les pôles directement à partir du polyèdre de Newton. Pour citer cet article : A. Lemahieu, L. Van Proeyen, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).