High frequency wave packets for the Schrödinger equation and its numerical approximations

We build Gaussian wave packets for the linear Schrödinger equation and its finite difference space semi-discretization and illustrate the lack of uniform dispersive properties of the numerical solutions as established in Ignat and Zuazua (2009) [6]. It is by now well known that bigrid algorithms provide filtering mechanisms allowing to recover the uniformity of the dispersive properties as the mesh size goes to zero. We analyze and illustrate numerically how these high frequency wave packets split and propagate under these bigrid filtering mechanisms, depending on how the fine grid/coarse grid filtering is implemented.

RésuméOn construit des paquets d'ondes gaussiennes pour l'équation de Schrödinger linéaire continue unidimensionnelle ainsi que pour sa semi-discrétisation en espace par différences finies. On illustre numériquement le manque d'uniformité par rapport au pas du maillage des propriétés de dispersion des solutions numériques démontré dans Ignat et Zuazua (2009) [6]. Par ailleurs, il est bien connu que les algorithmes bi-grilles sont des mécanismes de filtrage efficaces pour récupérer l'uniformité des propriétés dispersives. On analyse la façon dont les solutions bi-grilles correspondant à plusieurs projections de la grille fine sur la grossière se divisent en plusieurs paquets d'ondes, chacun se propageant différement. On représente numériquement ces phénomènes et on montre que ce comportement est en accord avec les résultats théoriques connus sur la dispersion des solutions bi-grilles.