Finiteness properties for a subgroup of the pure symmetric automorphism group

Let Fn be the free group on n generators, and let PΣn be the group of automorphisms of Fn that send each generator to a conjugate of itself. The kernel Kn of the homomorphism PΣn→PΣn−1, induced by mapping one of the free group generators to the identity, is finitely generated. We show that Kn has cohomological dimension n−1, and that Hi(Kn;Z) is not finitely generated for 2⩽i⩽n−1. It follows that Kn is not finitely presentable for n⩾3.

RésuméSoit Fn le groupe libre engendré par n éléments, et soit PΣn le groupe des automorphismes de Fn qui envoient chaque générateur sur un conjugué. Le noyau Kn de l'homomorphisme PΣn→PΣn−1, obtenu en envoyant un des générateurs du groupe libre sur l'identité, est de type fini. On démontre que Kn est de dimension cohomologique n−1, est que Hi(Kn;Z) n'est pas de type fini pour 2⩽i⩽n−1. Par conséquent Kn n'est pas de présentation finie pour n⩾3.