Absence de spectre absolument continu pour un opérateur d'Anderson à potentiel d'interaction générique

RésuméNous présentons un résultat d'absence de spectre absolument continu dans un intervalle de R pour un opérateur de Schrödinger aléatoire continu et à valeurs matricielles agissant sur L2(R)⊗RN, pour N⩾1 arbitraire, et dont le potentiel d'interaction est générique dans les matrices symétriques réelles. Pour cela, nous prouvons l'existence d'un intervalle d'énergies sur lequel a lieu la séparabilité et la stricte positivité des N exposants de Lyapounov positifs de l'opérateur. La méthode suivie, basée sur le formalisme de Fürstenberg et un résultat de théorie des groupes dû à Breuillard et Gelander, permet une construction explicite de l'intervalle d'énergie recherché.

We present a result of absence of absolutely continuous spectrum in an interval of R, for a matrix-valued random Schrödinger operator, acting on L2(R)⊗RN for an arbitrary N⩾1, and whose interaction potential is generic in the real symmetric matrices. For this purpose, we prove the existence of an interval of energies on which we have separability and positivity of the N non-negative Lyapunov exponents of the operator. The method, based upon the formalism of Fürstenberg and a result of Lie group theory due to Breuillard and Gelander, allows an explicit construction of the wanted interval of energies.