On a question of Serre

Consider an imaginary quadratic number field , with m a square-free positive integer, and its ring of integers O. The Bianchi groups are the groups SL2(O). Further consider the Borel–Serre compactification [7] (1970) of the quotient of hyperbolic 3-space H by a finite index subgroup Γ in a Bianchi group, and in particular the following question which Serre posed on p. 514 of the quoted article. Consider the map α induced on homology when attaching the boundary into the Borel–Serre compactification. How can one determine the kernel of α (in degree 1)? of the kernel of α. In the quoted article, Serre did add the question what submodule precisely this kernel is. Through a local topological study, we can decompose the kernel of α into its parts associated to each cusp.

RésuméConsidérons un corps quadratique imaginaire , où m est un entier positif ne contenant pas de carré, et son anneau dʼentiers O. Les groupes de Bianchi sont les groupes SL2(O). Puis, nous considérons la compactification de Borel–Serre [7] (1970) du quotient de lʼespace hyperbolique H à trois dimensions par un sous-groupe Γ dʼindice fini dans un groupe de Bianchi, et en particulier la question suivante que Serre posait sur la p. 514 de lʼarticle cité. Considérons lʼapplication α induite en homologie quand le bord est attaché dans la compactification de Borel–Serre. Comment peut-on déterminer le noyau de α (en degré 1) ? Serre se servait dʼun argument topologique global et obtenait le rang du noyau de α. Dans lʼarticle cité, Serre rajoutait la question de quel sous-module précisément il sʼagit pour ce noyau. A travers dʼune étude topologique locale, nous pouvons décomposer le noyau de α dans ses parties associées à chacune des pointes.