Rational curves on Fermat hypersurfaces

In this note we study rational curves on degree pr+1 Fermat hypersurface in , where k is an algebraically closed field of characteristic p. The key point is that the presence of Frobenius morphism makes the behavior of rational curves to be very different from that of characteristic 0. We show that if there exists N0 such that for all e⩾N0 there is a degree e very free rational curve on X, then N0>pr(pr−1).

RésuméNote nous étudions les courbes rationnelles sur les hypersurfaces de Fermat de degré pr+1 dans , où k est un corps algébriquement clos de caractéristique p. Le point essentiel est la présence du morphisme de Frobenius qui rend le comportement des courbes rationnelles très différent du cas de caractéristique 0. Nous montrons que si N0 est un entier tel que pour tout e⩾N0 il y ait une courbe rationnelle très libre de degré e sur lʼhypersurface de Fermat, alors N0>pr(pr−1).