On triviality of the Kashiwara–Vergne problem for quadratic Lie algebras

We show that the Kashiwara–Vergne (KV) problem for quadratic Lie algebras (that is, Lie algebras admitting an invariant scalar product) reduces to the problem of representing the Campbell–Hausdorff series in the form ln(exey)=x+y+[x,a(x,y)]+[y,b(x,y)], where a(x,y) and b(x,y) are Lie series in x and y. This observation explains the existence of explicit rational solutions of the quadratic KV problem, whereas constructing an explicit rational solution of the full KV problem would probably require the knowledge of a rational Drinfeld associator. It also gives, in the case of quadratic Lie algebras, a direct proof of the Duflo theorem (implied by the KV problem). To cite this article: A. Alekseev, C. Torossian, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

RésuméOn montre, dans cette note, que le problème de Kashiwara–Vergne (KV) pour les algèbres de Lie quadratiques se ramène à l'écriture de la formule de Campbell–Hausdorff sous la forme ln(exey)=x+y+[x,a(x,y)]+[y,b(x,y)], où a(x,y) et b(x,y) sont des séries de Lie en x et y. Ce résultat explique l'existence dans la littérature, de solutions rationnelles explicites au problème KV quadratique. Notons que la construction d'une solution rationnelle au problème KV général nécessite probablement la connaissance d'un associateur de Drinfeld rationnel. Pour citer cet article : A. Alekseev, C. Torossian, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).