Optimal Hardy-type inequalities for elliptic operators

For a general second order elliptic operator P in a domain Ω, we construct a Hardy weight W in the punctured domain Ω⋆:=Ω∖{0} such that P−λW is subcritical in Ω⋆ for λ<1, null-critical in Ω⋆ for λ=1, and supercritical near infinity and near 0 for λ>1. Our method is based on the theory of positive solutions and applies to both symmetric and nonsymmetric operators. The constructed Hardy weight is given by an explicit formula involving the Green function of P and its gradient.

RésuméSoit P un opérateur elliptique du second ordre sur un domaine Ω. On construit un poids W, tel que si Ω⋆:=Ω∖{0} est un domaine épointé, alors P−λW est sous-critique sur Ω⋆ pour λ<1, nul-critique dans Ω⋆ pour λ=1, et supercritique à lʼinfini et en 0 pour λ>1. Notre approche repose sur la théorie des solutions positives dʼun opérateur elliptique du second ordre, et sʼapplique à la fois au cas symétrique et non symétrique. Le poids est de plus donné par une formule explicite faisant intervenir la fonction de Green de P et son gradient.