Detection of change-points near the end points of long-range dependent sequences

We consider a sequence of observations (Xi)i=1,…,n with a marginal distribution that is given by L(Xi)=Pn if i⩽nθn and L(Xi)=Qn if i>nθn. The parameter 0<θn<1 is the location of the change-point which must be estimated and may depend on the sequence length. We consider the general case in which the change-point can converge to one of the end-points of the interval [0,1] as the sequence length n tends to infinity. The sequence can be long-range dependent, short-range dependent or independent and may be non-stationary. We study a class of non-parametric estimators and prove they are consistent and that the rate of convergence is 1/n. We also deal with the case in which the distance between the distributions Pn and Qn tends to zero as n tends to infinity. To cite this article: W. Nie et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

RésuméOn considère une suite d'observations (Xi)i=1,…,n avec des lois marginales vérifiant : L(Xi)=Pn pour i⩽nθn et L(Xi)=Qn pour i>nθn. Le paramètre θn, qui peut dépendre de la taille n de la suite d'observations, désigne la localisation du changement dans la loi marginale. On s'intéresse ici à l'estimation de ce paramètre. On considère le cas général où la position de rupture θn peut converger vers l'une des deux extrémités de l'intervalle [0,1] lorsque la longueur de la suite tend vers l'infini. La suite peut être fortement dépendante, faiblement dépendante ou indépendante, voire même non stationnaire. On étudie une classe d'estimateurs non-paramètriques. On prouve qu'ils sont consistants et que leur vitesse de convergence est de 1/n. On traite aussi le cas où la distance entre les distributions Pn et Qn tend vers 0 quand n tend vers l'infini. Pour citer cet article : W. Nie et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).