Infinitely many solutions for a class of nonlinear elliptic problems on fractals

We study the nonlinear problem Δu+a(x)u=λg(x)f(u) in V∖V0, u=0 on V0, where V is the Sierpiński gasket, V0 is its intrinsic boundary, Δ denotes the weak Laplace operator, λ is a positive parameter, and f has an oscillatory behaviour either near the origin or at infinity. In both cases, we establish the existence of infinitely many solutions, which either converge to zero or have larger and larger energies.

RésuméOn étudie le problème non linéaire Δu+a(x)u=λg(x)f(u) dans V∖V0, u=0 sur V0, où V est le joint de culasse de Sierpiński, V0 est sa frontière intrinsèque, Δ dénote lʼopérateur de Laplace au sens faible, λ est un paramètre positif et f a un comportement oscillatoire autour de lʼorigine ou à lʼinfini. Dans les deux cas on établit lʼexistence dʼune infinité de solutions, qui ou bien convergent vers à zéro, ou bien ont des énergies de plus en plus grandes.