The 2-color relative linear Van der Waerden numbers ⁎

We define the r-color relative linear van der Waerden numbers for a positive integer r as generalizations of the polynomial van der Waerden numbers of linear polynomials. Especially we express a sharp upper bound of the 2-color relative linear van der Waerden number Rf2(u1,u2,…,um:s1,s2,…,sk) in terms of a (k+1)-color polynomial van der Waerden number for positive integers m, k, u1,u2,…,um, s1,s2,…,sk. As a result, we find this upper bound for some instances of m, k, u1,u2,…,um, s1,s2,…,sk for which the (k+1)-color polynomial van der Waerden numbers are obtained. To cite this article: B.M. Kim, Y. Rho, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).

RésuméNous définissons les nombres de van der Waerden linéaires relatifs r-colorés pour un entier strictement positif r qui sont des généralisations des nombres polynomiaux de van der Waerden de polynôme linéaires. En particulier nous donnons, pour r=2, la borne supérieure de ces nombres Rf2(u1,u2,…,um:s1,s2,…,sk) en termes d'un nombre de van der Waerden polynomial (k+1)-coloré pour les entiers strictement positifs, m, k, u1,u2,…,um, s1,s2,…,sk. Comme conséquence, nous obtenons explicitement cette borne supérieure pour certaines valeurs de ces entiers pour lesquels les nombres polynomiaux de van der Waerden (k+1)-colorés peuvent être calculés. Pour citer cet article : B.M. Kim, Y. Rho, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).