Courants localement résiduels et cohomologie de Dolbeault des variétés projectives

RésuméSoit X une variété projective irréductible de dimension n, et le faisceau de Barlet des q-formes régulières sur X. Soit Y1,…,Yn des hypersurfaces principales sur X, dont les diviseurs associés sont amples, et s'intersectant proprement. Pour p⩽n, le groupe de cohomologie peut se calculer comme la cohomologie de degré p d'un complexe de courants localement résiduels. On en déduit que tout élément de admet comme représentant dans la classe de cohomologie de Dolbeault des courant -fermés de bidegré (q,p) un courant localement résiduel à support dans Y1∩⋯∩Yp. Pour q=n, on obtient un autre théorème en se restreignant aux courants localement résiduels obtenus à partir de formes méromorphes à pôles logarithmiques sur les Yi ; ce dernier théorème est une variante d'un Théorème 3.1 de Khesin et al. (2004), donnant un calcul de par la cohomologie d'un complexe de « chaines polaires ». Pour citer cet article : B. Fabre, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).

Let X be an irreductible projective variety of dimension n, and be the Barlet's sheaf of regular q-forms on X. Let Y1,…,Yn be n principal hypersurfaces on X, defining ample line bundles, and intersecting properly. We show in this note that the Dolbeault cohomology group (p⩽n) can be computed as the p-th cohomology group of some complex of locally residual currents on X; we deduce that any element of admits as representant in the Dolbeault cohomology class of -closed currents of bidegree (q,p) a locally residual current with support in Y1∩⋯∩Yp. For q=n, we get another theorem by restricting to locally residual currents obtained from meromorphic n-forms with logarithmic poles on the Yi: this second version is a variant of a Theorem 3.1 of Khesin et al. (2004), giving a representation of as the cohomology of a complex of ‘polar chains’. To cite this article: B. Fabre, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).