The characteristic polynomial on compact groups with Haar measure: some equalities in law

This Note presents some equalities in law for ZN:=det(Id−G), where G is an element of a subgroup of the set of unitary matrices of size N, endowed with its unique probability Haar measure. Indeed, under some general conditions, ZN can be decomposed as a product of independent random variables, whose laws are explicitly known. Our results can be obtained in two ways: either by a recursive decomposition of the Haar measure (Section 1) or by previous results by Killip and Nenciu (2004) on orthogonal polynomials with respect to some measure on the unit circle (Section 2). This latter method leads naturally to a study of determinants of a class of principal submatrices (Section 3). To cite this article: P. Bourgade et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).

RésuméCette Note présente quelques égalités en loi pour ZN:=det(Id−G), où G est un sous-groupe de l'ensemble des matrices unitaires de taille N, muni de son unique mesure de Haar normalisée. En effet, sous des conditions assez générales, ZN peut être décomposé comme le produit de variables aléatoires indépendantes, dont on connait la loi explicitement. Notre résultat peut être obtenu de deux manières : soit par une décomposition récursive de la mesure de Haar (Partie 1) soit en utilisant un résultat de Killip et Nenciu (2004) à propos des polynômes orthogonaux relativement à une certaine mesure sur le cercle unité (Partie 2). Cette dernière méthode nous conduit naturellement à l'étude des déterminants de certaines sous-matrices (Partie 3). Pour citer cet article : P. Bourgade et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).