Means of algebraic numbers in the unit disk

Schur studied limits of the arithmetic means sn of zeros for polynomials of degree n with integer coefficients and simple zeros in the closed unit disk. If the leading coefficients are bounded, Schur proved that . We show that sn→0, and estimate the rate of convergence by generalizing the Erdős–Turán theorem on the distribution of zeros. To cite this article: I.E. Pritsker, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

RésuméSchur a étudié les limites des moyennes arithmétiques sn des zéros pour les polynômes à coefficients entiers de degré n ayant des zéros simples dans le disque unité fermé. Lorsque les coefficients dominants restent bornés, Schur a démontré que . Nous prouvons que sn→0. Nous donnons une estimation du taux de convergence, grâce à une généralisation d'un théorème de Erdős–Turán sur la distribution des zéros. Pour citer cet article : I.E. Pritsker, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).