The least singular value of a random square matrix is O(n−1/2)

Let A be a matrix whose entries are real i.i.d. centered random variables with unit variance and suitable moment assumptions. Then the smallest singular value sn(A) is of order n−1/2 with high probability. The lower estimate of this type was proved recently by the authors; in this Note we establish the matching upper estimate. To cite this article: M. Rudelson, R. Vershynin, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

RésuméSoit A une matrice dont les entrées sont des variables aléatoires centrées réelles i.i.d. de variance 1 vérifiant une hypothèse adéquate de moment. Alors la plus petite valeur singulière sn(A) est de l'ordre de n−1/2 avec grande probabilité. La minoration de sn(A) a été récemment obtenue par les auteurs ; dans cette Note, nous prouvons la majoration. Pour citer cet article : M. Rudelson, R. Vershynin, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).