On the number of conjugates defining the solvable radical of a finite group

We are looking for the smallest integer k>1 providing the following characterization of the solvable radical R(G) of any finite group G: R(G) consists of the elements g such that for any k elements a1,a2,…,ak∈G the subgroup generated by the elements , i=1,…,k, is solvable. Our method is based on considering a similar problem for commutators: find the smallest integer ℓ>1 with the property that R(G) consists of the elements g such that for any ℓ elements b1,b2,…,bℓ∈G the subgroup generated by the commutators [g,bi], i=1,…,ℓ, is solvable. To cite this article: N. Gordeev et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).

RésuméNous cherchons le plus petit entier k>1 caractérisant le radical résoluble R(G) d'un groupe fini G comme suit : R(G) est l'ensemble des éléments g tels que pour toute partie à k éléments {a1,a2,…,ak}⊂G le sous-groupe engendré par les élements , i=1,…,k, est résoluble. Notre méthode s'appuie sur la considération d'un problème similaire pour les commutateurs. Nous cherchons le plus petit entier ℓ>1 ayant la propriété suivante : R(G) est l'ensemble des éléments g tels que pour toute partie à ℓ éléments {b1,b2,…,bℓ}⊂G le sous-groupe engendré par les commutateurs [g,bi], i=1,…,ℓ, est résoluble. Pour citer cet article : N. Gordeev et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).