On the proportion of rank 0 twists of elliptic curves

Let E be an elliptic curve defined over Q, let Ed denote its dth quadratic twist, and rEd:=rankEd(Q). We prove, that, for any positive integer k there are pairwise non-isogenous elliptic curves E1,…,Ek such that rE1p=⋯=rEkp=0 for a positive proportion of primes p. To cite this article: A. Dąbrowski, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

RésuméSoit E une courbe elliptique définie sur Q, Ed la tordue quadratique de E par d, et rEd:=rangEd(Q). On démontre qu'il existe, pour tout entier positif k, des courbes elliptiques E1,…,Ek, qui sont 2 à 2 non isogènes, et telles que rE1p=⋯=rEkp=0 pour une famille de nombres premiers p de densité positive. Pour citer cet article : A. Dąbrowski, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).