Arithmetic coherent states and quantization theory

Let f(z)=qκ∑m⩾0amqm, with q=e2iπz and 0<κ⩽1, be a holomorphic modular form of real weight τ+1,τ>−1, for the group Γ=SL(2,Z) and for an arbitrary multiplier; let sτ be the distribution on the half-line such that sτ(t)=∑m⩾0amδ(t−m−κ). Let Dτ+1 be the usual realization, in a Hilbert space Hτ+1 of functions on the half–line, of a representation from the projective discrete series of G=SL(2,R) (or the prolongation thereof in the case when −1<τ⩽0). Then, the set of transforms , g describing any set of representatives of G mod Γ, can be regarded as a set of coherent states for the representation under study. Analyzing appropriate operators in Hτ+1 by means of their diagonal matrix elements against the distributions brings to light, as a spectral-theoretic density, the convolution L-function . Much more can, and will, be said in a forecoming Note in the cases when . To cite this article: A. Unterberger, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

RésuméSoit f(z)=qκ∑m⩾0amqm, avec q=e2iπz et 0<κ⩽1, une forme modulaire holomorphe f de poids réel τ+1,τ>−1, pour le groupe Γ=SL(2,Z) et pour un multiplicateur arbitraire ; soit sτ la distribution sur la demi-droite telle que sτ(t)=∑m⩾0amδ(t−m−κ). Soit Dτ+1 une représentation de la série discrète projective de G=SL(2,R) (ou du prolongement de celle-ci dans le cas où −1<τ⩽0) réalisée, de la manière usuelle, dans un espace de Hilbert Hτ+1 de functions sur la demi-droite. Alors, l'ensemble des transformées , g décrivant un système de représentants de G mod Γ, peut être regardé comme une famille d'états cohérents pour la représentation considérée. L'analyse d'opérateurs appropriés dans Hτ+1 au moyen de leurs éléments de matrices diagonaux contre la famille de distributions fait apparaître, comme densité spectrale, la function . Le cas où permet davantage et sera traité dans une Note suivante. Pour citer cet article : A. Unterberger, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).