La série entière possède une frontière naturelle !

RésuméLes séries lacunaires sont les exemples les plus classiques de séries entières qui ne peuvent pas se prolonger au delà de leurs cercles de convergence (Dienes, 1931 [4, §93–94, pp. 372–383], , Titchmarsh, 1939 [8, §7.43, p. 223], , …). Dans la présente Note, nous étudions une famille de séries entières, non lacunaires, ayant pour coefficients des valeurs prises par la fonction Gamma sur des lignes verticales. Nous expliquons comment les représenter en termes de séries de Dirichlet lacunaires, ce qui nous permet de conclure à lʼexistence de leur frontière naturelle. Liés au comportement « aléatoire » de la fonction Gamma sur toute ligne verticale, les résultats ainsi obtenus verront également des explications dans notre travail en cours sur des équations aux q-différences-différentielles, dites « de type pantographe » (voir Kato and McLeod (1971) [6] pour lʼinstant).

The lacunary series are the most classic examples among all the power series whose circle of convergence constitutes a natural boundary (Dienes, 1931 [4, §93–94, pp. 372–383], , Titchmarsh, 1939 [8, §7.43, p. 223], , …). In this Note, we study a family of non-lacunary power series whose coefficients are given by means of values of the Gamma function over vertical line. We explain how to transform these series into lacunary Dirichlet series, which allows us to conclude the existence of their natural boundary. Our results, which illustrate in what manner the Gamma function may have an unpredictable behaviour on any vertical line, may also be partially understood in the framework of our forthcoming work on a class of differential q-difference equations, namely, on pantograph type equations (meanwhile see Kato and McLeod (1971) [6]).