Liénard systems and potential-Hamiltonian decomposition I – methodology

Following the Hodge decomposition of regular vector fields we can decompose the second member of any Liénard system into 2 (non-unique) polynomials, the first corresponding to potential and the second to Hamiltonian dynamics. This polynomial Hodge decomposition is called potential-Hamiltonian, denoted PH-decomposition, and we give it for any polynomial differential system of dimension 2. We will give in a future Note an algorithm expliciting the PH-decomposition in the neighborhood of particular orbits, like a limit-cycle for Liénard systems, the method being applicable for any polynomial differential system of dimension 2. To cite this article: J. Demongeot et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).

RésuméUn système de Liénard est un système différentiel du second ordre, du type : dx/dt=y,dy/dt=−g(x)+yf(x), où g et f sont des polynômes. Un tel système est susceptible d'être décomposé, de manière non unique, en 2 parties polynomiales, l'une potentielle et l'autre hamiltonienne, c'est-à-dire qu'il existe 2 polynômes P et H vérifiant : dx/dt=−∂P/∂x+∂H/∂y,dy/dt=−∂P/∂y−∂H/∂x. On montre, en utilisant la décomposition de Hodge des champs de vecteurs réguliers, que le second membre d'un tel système est décomposable en 2 polynômes, l'un correspondant à une dynamique de gradient et l'autre à une dynamique hamiltonienne. Cette décomposition de Hodge polynomiale est appelée potentielle-hamiltonienne, notée PH-décomposition, et nous en donnons la formule pour tout système différentiel polynomial du plan. Nous donnerons, dans une Note ultérieure, un algorithme permettant d'obtenir une formule explicite de la PH-décomposition au voisinage d'orbites particulières, telles qu'un cycle-limite dans le cas des systèmes de Liénard, la méthode étant applicable à tout système différentiel polynomial du plan. Pour citer cet article : J. Demongeot et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).