Lower estimates for the singular values of random matrices

Let Γ be an n×n matrix, whose entries are independent identically distributed (i.i.d.) random variables satisfying the subgaussian tail estimate. We obtain polynomial type lower estimates of the singular numbers of Γ, which hold with probability close to 1. We also show that if A is an N×n matrix with N>n, whose entries are i.i.d. subgaussian random variables, then with high probability the space E=ARn satisfies the conditions of Kashin's theorem, i.e. the and norms are equivalent on E. Moreover the distance between these norms polynomially depends on δ=(N−n)/n. To cite this article: M. Rudelson, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).

RésuméSoit Γ une matrice n×n, ayant pour coefficients des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) vérifiant une décroissance sous-gaussienne des queues. Dans ce travail, nous obtenons des minorations de type polynomial des valeurs singulières de Γ, valables avec une probabilité proche de 1. Nous montrons aussi que si A est une matrice N×n avec N>n, dont les coefficients sont des variables aléatoires sous-gaussiennes i.i.d., alors l'espace E=ARn vérifie avec une grande probablilité les conditions du théorème de Kashin, c'est à dire les normes et sont équivalentes sur E. De plus la distance entre ces normes dépend polynomialement de δ=(N−n)/n. Pour citer cet article : M. Rudelson, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).