Semi-global weak stabilization of bilinear Schrödinger equations

We consider a linear Schrödinger equation, on a bounded domain, with bilinear control, representing a quantum particle in an electric field (the control). Recently, Nersesyan proposed explicit feedback laws and proved the existence of a sequence of times (tn)n∈N for which the values of the solution of the closed loop system converge weakly in H2 to the ground state. Here, we prove the convergence of the whole solution, as t→+∞. The proof relies on control Lyapunov functions and an adaptation of the LaSalle invariance principle to PDEs.

RésuméNous considérons une équation de Schrödinger linéaire, sur un domaine borné, avec un contrôle bilinéaire, modélisant une particule quantique dans un champ électrique (la commande). Récemment, Nersesyan a proposé des lois de rétroaction explicites et démontré l'existence d'une suite de temps (tn)n∈N auxquels les valeurs de la solution du système bouclé convergent faiblement dans H2 vers l'état fondamental. Ici, nous démontrons la convergence de toute la solution, quand t→+∞. La preuve repose sur des fonctions de Lyapunov et une adaptation du principe d'invariance de LaSalle aux EDP.