Uniqueness of Kottler spacetime and the Besse conjecture

We establish a black hole uniqueness theorem for Schwarzschild–de Sitter spacetime, also called Kottler spacetime, which satisfies Einstein's field equations of general relativity with positive cosmological constant. Our result concerns the class of static vacuum spacetimes with compact spacelike slices and regular maximal level set of the lapse function. We provide a characterization of the interior domain of communication of the Kottler spacetime, which surrounds an inner horizon and is surrounded by a cosmological horizon. The proof combines arguments from the theory of partial differential equations and differential geometry, and is centered on a detailed study of a possibly singular foliation. We also apply our technique in the Riemannian setting, and establish the validity of the so-called Besse conjecture.

RésuméNous démontrons un théorème d'unicité pour l'espace-temps de Schwarzschild–de Sitter, ou espace-temps de Kottler, lequel satisfait aux équations d'Einstein de la relativité générale avec constante cosmologique positive. Notre résultat couvre la classe d'espaces-temps vides et statiques dont les hypersurfaces de type espace sont compactes et pour lesquels le niveau maximal de la fonction « lapse » est régulier. Nous obtenons une caractérisation du domaine de communication intérieur limité par un horizon « intérieur » et un horizon cosmologique. La démonstration combine des arguments de la théorie des équations aux dérivées partielles et de la géométrie différentielle, et est centré sur l'étude d'un feuilletage qui peut a priori être singulier. Nous appliquons aussi notre technique en géométrie riemannienne, et établisssons la validité de la conjecture de Besse.