Expansion of the Green's function for divergence form operators

We consider the fundamental solution Ga of the operator on a bounded smooth domain Ω⊂Rn (n⩾2), associated to the Dirichlet boundary condition, where a is a positive smooth function on . In this short Note, we give a precise description of the function Ga(x,y). In particular, we define in a unique way its continuous part Ha(x,y) and we prove that the corresponding Robin's function Ra(x)=Ha(x,x) belongs to C∞(Ω), although Ha∉C1(Ω×Ω) in general.

RésuméOn considère la solution fondamentale Ga de l'opérateur , sur un domaine borné régulier Ω⊂Rn (n⩾2) avec les conditions de Dirichlet au bord, ici a est une fonction régulière et strictement positive sur . Dans cette Note, on donne une description précise de la fonction Ga(x,y). On définit notamment Ha(x,y), la partie continue de Ga et on montre que la fonction de Robin correspondante Ra(x)=Ha(x,x) est dans C∞(Ω), sachant que Ha∉C1(Ω×Ω) en général.