Un théorème de Liouville pour l'opérateur de Schrödinger avec dérive

RésuméSoit (M,g) une variété riemanniene complète sans bord de dimension n. Soit V un champ de vecteurs de classe C2 sur M tel que r(x)|V(x)| soit borné. On suppose qu'en dehors d'un compact de M on a Ricg(x)⩾−min{λ(r(x))−μ∇V(x),β(r(x))}, où μ∇V est la plus grande valeur propre de ∇V et λ,β sont des fonctions décroissantes non négatives avec limt→+∞t2λ(t)=0. Il existe des constantes positives bn et cn dépendant seulement de n et ‖V‖∞ tels que si h est une fonction de classe C2 sur M vérifiant Δh⩾−cna2 et lim supR→∞R−2minx∈Bp(3R)∖Bp(R)h(x)⩾−bna2 où 0⩽a

Let (M,g) be a complete Riemannian manifold without boundary of dimension n and V be a C2 vector field on M such that r(x)|V(x)| is bounded. Suppose that Ricg(x)⩾−min{λ(r(x))−μ∇V(x),β(r(x))} outside a compact set of M, where μ∇V denotes the upper eigenvalue of ∇V and λ,β are non-negative decreasing functions such that limt→+∞t2λ(t)=0. There exists positive numbers bn and cn which depend only on n and ‖V‖∞ such that if h is a C2 function defined on M with Δh⩾−cna2 and lim supR→∞R−2minx∈Bp(3R)∖Bp(R)h(x)⩾−bna2, where 0⩽a