La conjecture de Duflo pour les groupes résolubles exponentiels

RésuméSoient G un groupe de Lie résoluble exponentiel d'algèbre de Lie g et π une représentation irréductible et unitaire de G, de carré intégrable (modulo le centre) associée à une G-orbite Ω par l'application de Kirillov–Bernat (Auslander and Moore, 1966 ; Bernat et al., 1972 [1,2]). Soient H un sous-groupe fermé connexe de G d'algèbre de Lie h et p:g∗→h∗ l'application restriction. Dans le cas où la restriction de la représentation π au sous-groupe H se décompose discrètement et avec multiplicités finies en représentations irréductibles, on dit que la série discrète en question est H-admissible. Nous allons démontrer la conjecture suivante due à Duflo : La représentation π est H-admissible si et seulement si la restriction de l'application p à Ω est propre sur son image. Dans le cas d'espèce, ces deux conditions sont équivalentes à g=h+z, où z est le centre de g.1

Let G be an exponential solvable Lie group, g its Lie algebra and π a unitary irreducible representation of G which is square integrable modulo the center, associated by the Kirillov–Bernat map (Auslander and Moore, 1966; Bernat et al., 1972 [1,2]) to a G-orbit Ω. Let H be a closed connected subgroup of G with Lie algebra h and p:g∗→h∗ the restriction map. We say that the representation π is H-admissible if its restriction to the subgroup H splits in irreducible representations with finite multiplicities. We shall prove the following conjecture due to Duflo: The representation π is H-admissible, if and only if, the restriction of p to Ω is proper on the range p(Ω). In the case at hand, these two conditions are equivalent to g=h+z, where z is the center of g.