Decomposition of S1-valued maps in Sobolev spaces

Let n⩾2, s>0, p⩾1 be such that 1⩽sp<2. We prove that for each map u∈Ws,p(Sn;S1) one can find φ∈Ws,p(Sn;R) and v∈Wsp,1(Sn;S1) such that u=veıφ. This yields a decomposition of u into a part that has a lifting in Ws,p, eıφ, and a map “smoother” than u but without lifting, namely v. Our result generalizes a previous one of Bourgain and Brezis (which corresponds to the case s=1/2, p=2). As a consequence, we find an intuitive proof for the existence of the distributional Jacobian Ju of maps u∈Ws,p(Sn;S1) (originally due to Bourgain, Brezis and the author). By completing a result of Bousquet, we characterize the distributions of the form Ju.

RésuméSoient n⩾2, s>0, p⩾1 tels que 1⩽sp<2. Nous montrons que, pour chaque u∈Ws,p(Sn;S1), il existe φ∈Ws,p(Sn;R) et v∈Wsp,1(Sn;S1) tels que u=veıφ. Ceci donne une décomposition de u comme produit d'un facteur qui se relève dans Ws,p, eıφ, et d'un facteur « plus régulier » que u mais qui ne se relève pas, à savoir v. Notre décomposition généralise un résultat antérieur de Bourgain et Brezis (qui ont traité le cas s=1/2, p=2). Une conséquence de notre résultat est une preuve intuitive de l'existence du jacobien au sens des distributions Ju pour les applications u∈Ws,p(Sn;S1) (résultat dû, avec un argument différent, à Bourgain, Brezis et l'auteur). En complétant un résultat de Bousquet, nous caractérisons les distributions de la forme Ju.