Renormalized solutions of the fractional Laplace equation

We define renormalized solutions for the problems of the kind β(u)+(−Δ)s/2u∋f in Rn, f∈L1(Rn). Here β is a maximal monotone graph in R, and (−Δ)s/2, s∈(0,2), is the fractional Laplace operator which is a particular case of Lévy diffusions. We prove well-posedness in the framework of renormalized solutions. Then the Cauchy problem for the associated evolution equations can be solved using the Crandall–Liggett semigroup technique.

RésuméNous introduisons une notion de solution renormalisée pour les problèmes du genre β(u)+(−Δ)s/2u∋f in Rn, f∈L1(Rn). Ici β est un graphe maximal monotone dans R, et (−Δ)s/2, s∈(0,2), est l'opérateur de Laplace fractionnaire qui est un représentant type des diffusions de Lévy. Nous montrons que le problème est bien posé dans le cadre des solutions renormalisées. Le problème de Cauchy pour l'équation d'évolution associée peut alors se traiter par les techniques de semigroupes.