Invariance des probabilités de retour sur des groupes localement compacts

RésuméOn construit un invariant pour un groupe localement compact séparable, compactement engendré et unimodulaire. Si G est un tel groupe et F une densité de probabilité sur G symétrique bornée et admettant un moment d'ordre 2 (relativement à la métrique des mots) alors la donnée asymptotique de n↦F∗(2n)(e) ne depend pas de F. A titre d'exemple on montre que la probabilité de retour sur sol(K) où K est un p-corps, se comporte comme exp(−t1/3), ce qui inclut le cas de sol(Qp) conjecturé dans un article par Pittet et Saloff-Coste et publié récemment par Mustapha. Pour citer cet article : D. Gretete, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).

We construct an asymptotic invariant for locally compact separable, compactly generated unimodular groups. If G is such a group and if F is a symmetric bounded density on it with second order moment (with respect to a word metric), we show that the asymptotic behavior of n↦F∗(2n)(e) does not depend on the choice of the density F. As an example we show that the asymptotic of the return probabilities on sol(K) where K is a p-field behaves like exp(−t(1/3)). In the case where K=Qp this answers a question of Pittet and Saloff-Coste published recently by Mustapha. To cite this article: D. Gretete, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).