Generalized Steinberg representations for split reductive groups

We generalize results of P. Schneider and U. Stuhler for GLl+1 to a reductive algebraic group G defined and split over a non-Archimedean local field K. Following their lines, we prove that the generalized Steinberg representations of G with coefficients in an arbitrary ring are cyclic. When G is semi-simple of adjoint type, we give an expression of these representations, whenever it is possible and in particular for those that are of maximal degree, in terms of the parahoric subgroups of G.

RésuméNous généralisons des résultats de P. Schneider et U. Stuher pour GLl+1 à un groupe algébrique réductif G défini et déployé sur un corps non-archimédien K. Ainsi, en suivant essentiellement leur preuve, nous montrons que les représentations de Steinberg généralisées de G à coefficients dans un anneau commutatif sont monogènes. Dans le cas où G est semi-simple de type adjoint, sous une certaine hypothèse qui est vérifiée en particulier en degré maximal, nous exprimons ces représentations en termes des sous-groupes parahoriques.