A new construction of the σ-finite measures associated with submartingales of class (Σ)

In Najnudel and Nikeghbali (2009) [7], we prove that for any submartingale (Xt)t⩾0(Xt)t⩾0 of class (Σ  ), defined on a filtered probability space (Ω,F,P,(Ft)t⩾0)(Ω,F,P,(Ft)t⩾0), which satisfies some technical conditions, one can construct a σ  -finite measure QQ on (Ω,F)(Ω,F), such that for all t⩾0t⩾0, and for all events Λt∈FtΛt∈Ft:Q[Λt,g⩽t]=EP[1ΛtXt]Q[Λt,g⩽t]=EP[1ΛtXt] where g is the last hitting time of zero of the process X  . Some particular cases of this construction are related with Brownian penalisation or mathematical finance. In this Note, we give a simpler construction of QQ, and we show that an analog of this measure can also be defined for discrete-time submartingales.

RésuméDans Najnudel et Nikeghbali (2009) [7], nous prouvons que pour toute sous-martingale (Xt)t⩾0(Xt)t⩾0 de classe (Σ  ), définie sur un espace de probabilité filtré (Ω,F,P,(Ft)t⩾0)(Ω,F,P,(Ft)t⩾0), satisfaisant certaines conditions techniques, on peut construire une mesure σ  -finie QQ sur (Ω,F)(Ω,F), telle que pour tout t⩾0t⩾0, et pour tout événement Λt∈FtΛt∈Ft :Q[Λt,g⩽t]=EP[1ΛtXt]Q[Λt,g⩽t]=EP[1ΛtXt] où g est le dernier zéro de X  . Certains cas particuliers de cette construction sont liés aux pénalisations browniennes ou aux mathématiques financières. Dans cette note, nous donnons une construction plus simple de QQ, et nous montrons qu'un analogue de cette mesure peut aussi être défini pour des sous-martingales à temps discret.