Very weak solutions for the stationary Oseen and Navier–Stokes equations

We consider the stationary Oseen and Navier–Stokes equations in a bounded connected domain of class C1,1 of R3. Here we give a new and simpler proof of the existence of very weak solutions (u,q)∈Lp(Ω)×W−1,p(Ω) corresponding to boundary data in W−1/p,p(Γ). These solutions are obtained without imposing smallness assumptions on the exterior forces. We also obtain regularity results in fractional Sobolev spaces.

RésuméNous considérons les équations stationnaires d'Oseen et de Navier–Stokes dans un ouvert borné connexe et de classe C1,1 de R3. Nous donnons ici une nouvelle preuve plus simple de l'existence de solutions très faibles (u,q)∈Lp(Ω)×W−1,p(Ω) correspondant à des données au bord dans W−1/p,p(Γ). Ces solutions sont obtenues sans hypothèse de petitesse des forces extérieures. On obtient aussi des résultats de régularité dans des espaces de Sobolev fractionnaires.