Singular limits for the Riemann problem: general diffusion, relaxation, and boundary conditions

We consider self-similar approximations of non-linear hyperbolic systems in one space dimension with Riemann initial data, especially the system ∂tuε+A(uε)∂xuε=εt∂x(B(uε)∂xuε), with ε>0. We assume that the matrix A(u) is strictly hyperbolic and that the diffusion matrix satisfies |B(u)−Id|≪1. No genuine non-linearity assumption is required. We show the existence of a smooth, self-similar solution uε=uε(x/t) which has bounded total variation, uniformly in the diffusion parameter ε>0. In the limit ε→0, the functions uε converge towards a solution of the Riemann problem associated with the hyperbolic system. A similar result is established for the relaxation approximation ∂tuε+∂xvε=0, ∂tvε+a2B(u)∂xuε=(f(uε)−vε)/(εt). We also cover the boundary-value problem in a half-space for the same regularizations. To cite this article: K.T. Joseph, P.G. LeFloch, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).

RésuméNous considérons les approximations auto-semblables d'un système hyperbolique non-linéaire à une dimension d'espace avec donnée initiale de type « problème de Riemann », en particulier le système ∂tuε+A(uε)∂xuε=εt∂x(B(uε)∂xuε), avec ε>0. Nous supposons que la matrice A(u) est strictement hyperbolique et que la matrice de diffusion satisfait |B(u)−Id|≪1. Aucune hypothèse de « vraie non-linéarité » n'est imposée. Nous démontrons que ce problème admet une solution régulière, auto-semblable uε=uε(x/t) de variation totale uniformément bornée par rapport au paramètre de diffusion ε>0. Lorsque ε→0, les fonctions uε convergent vers une solution du problème de Riemann associé au système hyperbolique. Nous établissons aussi un résultat analogue pour les approximations par relaxation données par ∂tuε+∂xvε=0, ∂tvε+a2B(u)∂xuε=(f(uε)−vε)/(εt). Ces résultats sont finalement étendus au problème de Riemann associé à ces mêmes régularisations et posé dans un demi-espace avec condition au bord. Pour citer cet article : K.T. Joseph, P.G. LeFloch, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).