Nodal line structure of least energy nodal solutions for Lane–Emden problems

In this Note, we consider the Lane–Emden problem −Δu=λ2|u|p−2u with Dirichlet boundary conditions, where the domain Ω is an open bounded subset of R2, λ2 is the second eigenvalue of −Δ, and p>2. We prove that, if Ω is C2 and convex, the nodal line intersects ∂Ω when p is close to 2. In contrast, we also exhibit a connected — but not simply connected — domain Ω such that, for p close to 2, the nodal line does not intersect ∂Ω. To cite this article: C. Grumiau, C. Troestler, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

RésuméSoit l'équation −Δu=λ2|u|p−2u avec conditions au bord de Dirichlet, où Ω⊆R2 est ouvert borné, λ2 la deuxième valeur propre de −Δ et p>2. Nous prouvons que, sur un convexe de classe C2, la ligne nodale de toute solution nodale d'énergie minimale intersecte ∂Ω pour p proche de 2. Par ailleurs, nous montrons également l'existence d'un ensemble connexe mais non simplement connexe, tel que, pour p proche de 2, la ligne nodale de toute solution nodale d'énergie minimale n'intersecte pas ∂Ω. Pour citer cet article : C. Grumiau, C. Troestler, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).