Dimension of sets of sequences defined in terms of recurrence of their prefixes

Soit Σ l'ensemble des suites x=(xn)n⩾1 d'éléments de S={1,2,…,m} muni de l'ultramétrique usuelle d(x,y)=m−inf{k⩾0:xk+1≠yk+1}. PosonsRn(x)=inf{j>n:x1x2⋯xn=xjxj+1⋯xj+n−1}. Nous montrons que, quels que soient α et β tels que 1⩽α⩽β⩽∞ l'ensembleBα,β={x∈Σ:lim̲n→∞logRn(x)logn=α et lim¯n→∞logRn(x)logn=β} a une dimension de Hausdorff égale à 1. Pour citer cet article : L. Peng, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).