Baer–Suzuki theorem for the solvable radical of a finite group

We prove that an element g of prime order q>3 belongs to the solvable radical R(G) of a finite group if and only if for every x∈G the subgroup generated by g and xgx−1 is solvable. This theorem implies that a finite group G is solvable if and only if in each conjugacy class of G every two elements generate a solvable subgroup. To cite this article: N. Gordeev et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

RésuméNous démontrons qu'un élément g d'ordre premier q>3 appartient au radical résoluble R(G) d'un groupe fini G si et seulement si pour tout x∈G le sous-groupe engendré par x et xgx−1 est résoluble. Ce théorème implique qu'un groupe fini G est résoluble si et seulement si dans chaque classe de conjugaison de G tout couple d'éléments engendre un sous-groupe résoluble. Pour citer cet article : N. Gordeev et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).