Homology of free quantum groups

We compute the Hochschild homology of the free orthogonal quantum group Ao(n). We show that it satisfies Poincaré duality and should be considered to be a 3-dimensional object. We then use recent results of R. Vergnioux to derive results about the ℓ2-homology of Ao(n) and estimates on the free entropy dimension of its set of generators. In particular, we show that the ℓ2 Betti-numbers of Ao(n) all vanish and that the free entropy dimension is less than 1. To cite this article: B. Collins et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

RésuméNous calculons l'homologie de Hochschild du groupe quantique libre Ao(n). Nous montrons qu'il vérifie une dualité de Poincaré et qu'il peut être considéré comme un objet en 3 dimensions. Nous utilisons ensuite des résultats récents de R. Vergnioux pour en déduire des résultats sur l'homologie ℓ2 de Ao(n) et des estimées sur la dimension libre de l'ensemble des générateurs. En particulier, nous démontrons que tous les nombres de Betti ℓ2 de Ao(n) sont nuls et que la dimension libre de Ao(n) est majorée par 1. Pour citer cet article : B. Collins et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).