Dimension of the spectrum of one-dimensional discrete Schrödinger operators with Sturmian potentials

Damanik and collaborators (2007) gave the behavior for large coupling constant of the box dimension of the spectrum of a one-dimensional discrete Schrödinger operator whose potential is a Sturm sequence associated with the golden ratio. They also show that in this case the Hausdorff and box dimensions coincide (i.e. the spectrum is dimension-regular). This Note aims at giving a simpler proof of the asymptotic property result and to generalize it to the case of any Sturm potential associated with an irrational frequency whose continued fraction expansion has bounded partial quotients. Moreover, we determine the upper box dimension of the spectrum, with large coupling constant, and show that it is not dimension-regular in general. To cite this article: Q.-H. Liu et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).

RésuméLe comportement asymptotique pour une grande constante de couplage de la dimension du spectre d'un opérateur de Schrödinger discret dont le potentiel est une suite sturmienne associée au nombre d'or vient d'être obtenu par Damanik et al. (2007). Dans cette Note, nous donnons une démonstration plus simple de ce résultat et l'étendons au cas d'un potentiel sturmien associé à une fréquence irrationnelle dont les quotient partiels de sa décomposition en fraction continue sont bornés. Nous montrons qu'en général les dimensions de Hausdorff et de Minkowski du spectre sont différentes. Pour citer cet article : Q.-H. Liu et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).