Constructive solution of a bilinear control problem

We present an optimization method of a quantum control problem giving rise to a sequence of controls increasing monotonically the values of a cost functional. We first claim some results about the regularity of this cost functional. Those enable to extend an inequality due to Łojasiewicz to the infinite dimensional case. Lastly, a sequence of inequalities proving the Cauchy character of the monotonic sequence is obtained, and we can also estimate the rate of convergence. The detailed proof will be given in [L. Baudouin, J. Salomon, Constructive solution of a bilinear quantum control problem, 2005, in preparation. [3]]. To cite this article: L. Baudouin, J. Salomon, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).

RésuméNous présentons une méthode d'optimisation d'un problème issu du contrôle quantique aboutissant à une suite de valeurs pour le contrôle faisant croître les valeurs d'une fonctionnelle de coût de façon monotone. Après avoir introduit la fonctionnelle de coût associée au problème, nous énonçons quelques propriétés sur sa régularité. Celles-ci permettent d'étendre une inégalité dû à Łojasiewicz au cadre de la dimension infinie. Une série de majorations démontrant la propriété de Cauchy pour la suite monotone est alors obtenue et nous pouvons également donner une estimation de son taux de convergence. Les détails des démonstrations seront donnés dans [L. Baudouin, J. Salomon, Constructive solution of a bilinear quantum control problem, 2005, in preparation. [3]]. Pour citer cet article : L. Baudouin, J. Salomon, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).